Leetcode53. 最大子数组和

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组

是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

  • 1 <= nums.length <= 105
  • -104 <= nums[i] <= 104

思路和算法

假设 nums 数组的长度是 n，下标从 0 到 n−1。

我们用 f(i) 代表以第 i 个数结尾的「连续子数组的最大和」，那么很显然我们要求的答案就是：

$$max0≤i≤n−1​{f(i)}$$

因此我们只需要求出每个位置的 f(i)，然后返回 f 数组中的最大值即可。那么我们如何求 f(i) 呢？我们可以考虑 nums[i] 单独成为一段还是加入 f(i−1) 对应的那一段，这取决于 nums[i] 和 f(i−1)+nums[i] 的大小，我们希望获得一个比较大的，于是可以写出这样的动态规划转移方程：

$$f(i)=max{f(i−1)+nums[i],nums[i]}$$

不难给出一个时间复杂度 O(n)、空间复杂度 O(n) 的实现，即用一个 f 数组来保存 f(i) 的值，用一个循环求出所有 f(i)。考虑到 f(i) 只和 f(i−1) 相关，于是我们可以只用一个变量 pre 来维护对于当前 f(i) 的 f(i−1) 的值是多少，从而让空间复杂度降低到 O(1)，这有点类似「滚动数组」的思想。

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func maxSubArray(nums []int) int { 
	max := nums[0] 
	for i := 1; i < len(nums); i++ { 
		if nums[i] + nums[i-1] > nums[i] { 
			nums[i] += nums[i-1] 
		} 
		if nums[i] > max { 
			max = nums[i] 
		} 
	} 
	return max 
} 

// -2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4
// -2,1,-2,4,3,5,6,1,5

简单来说就是看前一个元素是否大于 0 ，如果符合条件，那么就加到当前位置上

另一种方法是前缀和，找到每个位置的前缀和，那么某两个前缀和的最大差值就是我们要找的 子数组 区间和最大值

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func maxSubArray(nums []int) int {
	ans := math.MinInt64
	minPreSum, preSum := 0, 0
	  
	for _, num := range nums {
		preSum += num
		ans = max(ans, preSum-minPreSum)
		minPreSum = min(minPreSum, preSum)
	}
	  
	return ans
}